今天也是复习整理了一下特征值与特征方程这一章节的知识体系，大致梳理了一下。

特征值与特征方程

定义

n阶矩阵A，非零列向量α，满足Aα ＝ λα

α为A的特征向量，λ为对应的特征值

｜λE － A ｜＝ 0 为特征方程，λE － A为特征矩阵，｜λE － A｜为特征多项式。

求法

• 1、由｜λE － A ｜＝ 0 ——> n个特征值λ1，λ2，……λn
• 2、由n个特征值，（λE － A）x = 0 ——>对应的特征向量

性质

• 不同特征值对应的特征向量线性无关
• 不同特征值对应的特征向量的和不是特征向量
• k重特征向量有k个线性无关的特征向量
• λ1＋λ2＋……＋λn = tr(A),λ1*λ2*……*λn = |A|
• r(A) = 1,即A ＝ αβT－－－－－>λ1 = tr(A) = αTβ = βTα,λ2 = λ3 = …… ＝ λn = 0

相似矩阵

定义

n阶矩阵A，B，存在可逆矩阵P使得P-1AP = B ,那么就称A与B互为相似矩阵，记作A～B。

性质

如果A～B，则

• ｜A｜ ＝ ｜B｜，r(A) = r(B),tr(A) = tr(B),特征值相同，特征方程相同
• A～B，B～C，则A～C（传递性）
• f(A)～f(B),A*～B*,At～Bt,A-1～B-1,AB～BA

相似对角化

定义

n阶矩阵A，存在可逆矩阵P，使得

P-1AP = Λ （对角矩阵，只有主对角线上存在非0元素）

P是由A的n个线性无关的特征向量构成，Λ是由A n个特征值构成。

充要条件

• A 有n 个线性无关的特征向量
• A的k重特征值，对应有k个线性无关的特征向量

充分条件

A可相似对角化<=>A有n个不同的特征值

<=> A为实对称矩阵

实对称矩阵

定义

n阶矩阵A，A满足A ＝ A的转置矩阵，则A 为实对称矩阵

性质

• 特征值均为实数
• 不同特征值对应的特征向量之间线性无关
• k重特征值对应k个线性无关的特征向量
• A可以正交相似对角化，也就是存在正交矩阵Q，Q-1AQ = Λ

正交矩阵Q的求法

• 1、求出A 的n个特征值
• 2、求出n个特征值对应的特征向量
• 3、使用施密特正交化将求出的特征向量单位正交化，Q为单位正交化后的特征向量组成的矩阵